MATEMATICA PER L'ECONOMIA
Anno accademico 2023/2024 - Docente: Fabio Giovanni LAMANTIARisultati di apprendimento attesi
1. conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):
Il corso presenta da un punto di vista teorico gli elementi fondamentali dell’ottimizzazione statica, dei sistemi dinamici e dell’ottimizzazione dinamica studiandone con particolare enfasi alcune tra le applicazioni microeconomiche e macroeconomiche più rilevanti. Esempi e modalità di lavoro verranno presentati in aula durante le lezioni e le esercitazioni.
2 Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
Al termine del corso lo studente ha acquisito conoscenze e competenze essenziali per lo studio dei sistemi economici avanzati. In particolare sa applicare correttamente la formulazione studiata nella rappresentazione e modellizzazione di sistemi reali. Nel dettaglio lo studente è in grado di: -risolvere problemi di ottimizzazione vincolata con obiettivi non lineari - calcolare esplicitamente la soluzione di sistemi di equazioni differenziali; - indagare la stabilità delle soluzioni in stato stazionario per sistemi lineari e non lineari; - formulare e studiare problemi di ottimizzazione dinamica in ambito economico.
3. Autonomia di giudizio (making judgements):
Il corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti gli strumenti di ottimizzazione e di modellistica dinamica, di stimolare la capacità di leggere e interpretare un modello economico teorico e di sviluppare un'autonoma capacità critica nel contesto delle tematiche trattate.
4. Abilità comunicative (communication skills):
Lo studente dovrà aver acquisito al termine del corso il lessico tecnico relativo agli argomenti trattati ed una buona capacità di comunicare in modo chiaro le proprie affermazioni e considerazioni inerenti il programma svolto a lezione e approfondito sui testi consigliati.
5. Capacità di apprendimento (learning skills)
Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di autonomia nello studio della disciplina, nella lettura, interpretazione ed analisi di modelli matematici in economia.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Prerequisiti richiesti
Frequenza lezioni
Contenuti del corso
Elementi di algebra lineare e Funzioni a più variabili; ottimizzazione libera e vincolata; sistemi dinamici a tempo continuo ed a tempo discreto; introduzione all’ottimizzazione dinamica in economia.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Testi di riferimento
Per la parte I:
(1) Simon, Blume, Matematica per le scienze economiche, EGEA, 2015
Per la parte II e III:
(2) Salsa, Squellati, Modelli dinamici e controllo ottimo, EGEA, 2006
(3) Bischi, Lamantia, Radi, Lecture notes on Dynamical Systems in Economics and Finance (dispense fornite dal docente).
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Vettori di R^n; indipendenza lineare; insiemi generati da vettori; basi e dimensioni di R^n | Simon, Blume, cap. 1 |
| 2 | Spazi e sottospazi vettoriali; Base e dimensione di un sottospazio; Nucleo di una matrice; Trasformazioni lineri | Simon, Blume, cap. 2 |
| 3 | Numeri complessi; Autovalori e autovettori | Salsa, Squellati, Appendice |
| 4 | Struttura metrica di R^n; Norma e prodotto scalare in R^n; Insiemi aperti, chiusi, compatti | Simon, Blume, cap. 4 |
| 5 | Funzioni definite tra spazi Euclidei. Rappresentazione geometrica di funzioni; Funzioni continue | Simon, Blume, cap. 6 |
| 6 | Calcolo differenziale in più variabili: derivata parziale; differenziale; Derivata lungo una curva; derivata direzionale; funzioni vettoriali; derivata delle funzioni composte; derivate di ordine superiore | Simon, Blume, cap. 7 |
| 7 | Funzioni implicite; curve di livello e loro tangenti; sistemi di funzioni implicite; statica comparata | Simon, Blume, cap. 8 |
| 8 | Forme quadratiche | Simon, Blume, cap. 9 |
| 9 | Ottimizzazione libera; condizioni del I e del II ordine; minimi globali e locali | Simon, Blume, cap. 10 |
| 10 | Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza; vincoli di disuguaglianza; vincoli misti | Simon, Blume, cap. 11 |
| 11 | Significato dei moltiplicatori; teoremi dell'inviluppo; condizioni del II ordine; qualificazione dei vincoli; funzioni concave | Simon, Blume, cap. 12, 14 |
| 12 | Introduzione alla modellistica dinamica | Salsa, Squellati, cap. 1; Bischi, Lamantia Radi |
| 13 | Equazioni differenziali dei I ordine; Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti | Salsa, Squellati, cap. 2, 5 |
| 14 | Sistemi di equazioni differenziali; sistemi bidimensionali autonomi | Salsa, Squellati, cap. 5, 7 |
| 15 | Equazioni alle differenze; equazioni alle differenze lineari; Soluzioni e classificazione degli equilibri. Diagrammi di fase. | Salsa, Squellati, cap. 4, 5 |
| 16 | Concetto generale di sistema dinamico (sia a tempo continuo che discreto); introduzione alla teoria qualitativa dei sistemi dinamici non lineari ed alle biforcazioni. Teoria dei giochi evolutivi | Bischi, Lamantia Radi |
| 17 | Problemi di controllo ottimo. Metodi variazionali; sistemi a tempo continuo; il principio del massimo; condizioni necessarie e sufficienti | Salsa, Squellati, cap. 10 |
| 18 | Obiettivi con fattori di sconto; significato dei moltiplicatori; condizioni di trasversalità; applicazioni economiche | Salsa, Squellati, cap. 10 |
| 19 | Programmazione dinamica; equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman; orizzonte infinito; obiettivi con fattori di sconto | Salsa, Squellati, cap. 11 |
| 20 | Ottimizzazione dinamica ed applicazioni economiche | Salsa, Squellati, cap. 10, 11; Bischi, Lamantia Radi; |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
La valutazione finale avviene in due fasi entrambe obbligatorie. Nella prima fase, lo studente deve sostenere un esame scritto con risposte aperte sui principali argomenti del programma. La seconda fase dell'esame, a cui si accede previo superamento dell'esame scritto, consiste in un colloquio con i docenti relativo all'esposizione degli argomenti teorici e lo svolgimento di esercizi.
L'esame scritto mira a valutare la capacità analitica dello studente e le sue abilità nel problem solving in ambito matematico. La prova orale mira a valutare il conseguimento delle competenze specifiche del corso, la conoscenza degli argomenti trattati e il rigore metodologico conseguito dallo studente.
Il compito scritto viene valutato in trentesimi sulla base della correttezza dello svolgimento, la chiarezza e la completezza della trattazione. La prova orale, anch’essa valutata in trentesimi, mira a valutare la padronanza, la chiarezza espositiva ed il livello di accuratezza della preparazione conseguita dallo studente. L’esame si considera superato se lo studente raggiunge un punteggio almeno pari a 18/30 ad entrambe le prove. Il voto finale, in trentesimi, è una media delle due prove sostenute dallo studente.
E' prevista una prova in itinere per i frequentanti.