MATEMATICA GENERALE
Anno accademico 2015/2016 - 1° annoCrediti: 9
SSD: SECS-S/06 - Metodi Matematici dell'Economia e delle Scienze Attuariali e Finanziarie
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 165 di studio individuale, 60 di lezione frontale
Semestre: 1°
ENGLISH VERSION
Prerequisiti richiesti
Le quattro operazioni e le loro proprietà; numeri primi, scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo; frazioni e operazioni su frazioni; potenze, radici e logaritmi; monomi, polinomi e scomposizione di polinomi; equazioni di primo e secondo grado; elementi di base di geometria euclidea (rette, semirette, segmenti, angoli, triangoli, rette perpendicolari e parallele, parallelogrammi, circonferenza, poligoni, Teorema di Pitagora, misura delle grandezze geometriche, similitudine).
Frequenza lezioni
Obbligatoria.
Contenuti del corso
I MODULO Crediti parziali attribuiti : 3 CFU
Descrizione del programma
ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA: linguaggi e proposizioni; connettivi; quantificatori. INSIEMI: proprietà, sottoinsiemi, operazioni. Applicazioni. Relazioni binarie. Numeri reali e disequazioni. Cenni di trigonometria.
CALCOLO COMBINATORIO: disposizioni, combinazioni e permutazioni, semplici e con ripetizione. Binomio di Newton, coefficienti binomiali.
GEOMETRIA ANALITICA: coordinate cartesiane.Equazione della retta nel piano.
MATRICI E DETERMINANTI: definizioni e classificazioni. Somma e prodotto tra matrici. Matrice inversa. Determinante e sue proprietà. Rango di una matrice.
SISTEMI LINEARI: dipendenza tra forme lineari. Definizioni e proprietà. Sistemi lineari normali: metodo di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo del perno e risoluzione di sistemi parametrici. Applicazioni a problemi economici.
II MODULO Crediti parziali attribuiti : 3 CFU Descrizione del programma
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: definizioni, classificazioni, rappresentazione geometrica. Funzioni composte ed inverse. Limiti: definizioni e teoremi. Successioni numeriche. Funzioni continue. Infinitesimi ed infiniti.
DERIVATE E DIFFERENZIALI: definizioni, proprietà e loro significato geometrico. Derivate delle funzioni elementari. Derivate e differenziali di somma, prodotto e quoziente di funzioni. Derivate di funzioni composte ed inverse. Derivate e differenziali successivi. Principali teoremi sulle funzioni derivabili.
APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE: Formule di Taylor e di Mac Laurin. Forme indeterminate. Funzioni monotone, funzioni convesse, estremi relativi ed assoluti, flessi, asintoti. Studio di funzioni. Elasticità di una funzione. Applicazioni a problemi economici.
III MODULO Crediti parziali attribuiti : 3 CFU Descrizione del programma
INTEGRALI: integrale indefinito e primitive. Integrale definito e suo significato geometrico. Principali metodi di integrazione.
GEOMETRIA ANALITICA: Coniche: circonferenza, ellisse, parabola, iperbole.
Testi di riferimento
Salvatore Greco, Benedetto Matarazzo, Salvatore Milici, Matematica Generale, Giappichelli Editore, Torino, 2010.
Programmazione del corso
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|---|
| 1 | * | Teoria degli insiemi: unione, intersezione, prodotto cartesiano, differenza di insiemi, insieme potenza, cardinale di un insieme e teorema dei quattro cardinali. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo primo. |
| 2 | * | Teoria degli insiemi. Applicazioni: definizione, applicazioni iniettive, suriettive e corrispondenze biunivoche, funzione inversa. Relazioni binarie: definizioni, proprietà, relazioni di equivalenza, relazioni d’ordine. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo primo. |
| 3 | * | Teoria degli insiemi. Operazioni binarie: struttura algebrica, gruppoide, semigruppo, gruppo. Numeri: numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali, basi di numerazione. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo primo e secondo. |
| 4 | * | Calcolo combinatorio: disposizioni semplici, permutazioni semplici in linea aperta e in linea chiusa, inversioni di una permutazione, combinazioni semplici, proprietà di simmetria, legge di Stifel, triangolo di Tartaglia. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo settimo. |
| 5 | * | Calcolo combinatorio: disposizioni con ripetizione, combinazioni con ripetizione, permutazione con ripetizione, binomio di Newton. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo settimo. |
| 6 | * | Matrici: definizione, vari tipi di matrici (quadrate, rettangolari, vettori, nulle, opposte, trasposte, diagonali, scalari, simmetriche, emisimmetriche, estratte, complementari). Confronto tra matrici. Operazioni tra matrici: somma, prodotto scalare. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo ottavo. |
| 7 | * | Matrici. Operazioni su matrici: prodotto righe per colonne, matrice inversa, teoremi sulla matrice inversa. Determinante di una matrice:definizione. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo ottavo. |
| 8 | * | Determinante di una matrice: proprietà, I e II teorema di Laplace, teorema di Chiò. Matrice aggiunta. Rango di una matrice. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo ottavo. |
| 9 | * | Sistemi lineari: forme lineari, forme lineari linearmente indipendenti, principi di equivalenza dei sistemi lineari. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo nono. |
| 10 | * | Sistemi lineari: metodo del perno, teorema di Cramer, teorema di Rouché-Capelli. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo nono. |
| 11 | * | Elementi di metrica. Piano cartesiano, spazio cartesiano, distanza tra punti nello spazio. Cenni di trigonometria: circonferenza trigonometrica, seno, coseno, tangente e cotangente, relazioni fondamentali, formule di somma e sottrazione, formule di du | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo decimo. |
| 12 | * | Cenni di trigonometria: circonferenza trigonometrica, seno, coseno, tangente e cotangente, relazioni fondamentali, formule di somma e sottrazione, formule di duplicazione, formule di prostaferesi. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo sesto. |
| 13 | * | Insiemi numerici: maggioranti e minoranti, estremo inferiore ed estremo inferiore, insiemi separati e contigui. Cenni di topoligia: intorni nello spazio euclideo, punti interni e di frontiera, insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo undicesimo. |
| 14 | * | Equazione generale di una retta. Casi particolari e varie forme dell’equazione di una retta. Intersezione di due rette. Condizione di parallelismo e condizione di perpendicolarità. Distanza di un punto da una retta. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo dodicesimo. |
| 15 | * | Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, restrizione, prolungamento, grafico di una funzione, insieme di esistenza. Cenni sulle disequazioni al fine di calcolare l’insieme di esistenza. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Tredicesimo |
| 16 | * | Limite di una funzione: funzione convergente, divergente, teoremi fondamentali sui limiti. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Tredicesimo. |
| 17 | * | Limite di una funzione: operazioni sui limiti, forme indeterminate, limiti notevoli. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Tredicesimo. |
| 18 | * | Funzioni continue, teoremi sulle funzioni continue con particolare riferimento al teorema di esistenza degli zeri e teorema di Weierstrass. Punti di discontinuità di prima, seconda e terza specie. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Tredicesimo. |
| 19 | * | Funzioni monotone, funzioni inverse, funzioni composte, funzioni pari e dispari, funzioni periodiche, infinitesimi e infiniti, confronto tra infinitesimi e infiniti. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Tredicesimo. . |
| 20 | * | Derivata di una funzione: rapporto incrementale e sua interpretazione geometrica; definizione di derivata, sua interpretazione geometrica, calcolo delle derivate di alcune funzioni. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quattordicesimo. |
| 21 | * | Derivabilità e continuità. Differenziale. Regole di derivazione. Derivate di funzioni composte e inverse. Derivate di ordine successivo al primo. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quattordicesimo. |
| 22 | * | Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quindicesimo |
| 23 | * | Teorema di de l’Hopital. Formula di Taylor e formula di Mac-Laurin. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quindicesimo |
| 24 | * | Funzioni crescenti e decrescenti in un punto. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Ricerca degli estremi di una funzione. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quindicesimo |
| 25 | * | Funzioni convesse e funzioni concave. Punti di flesso. Asintoti. Elasticità di una funzione. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Quindicesimo |
| 26 | * | Integrale indefinito: primitive, definizione dell’integrale indefinito, proprietà dell’integrale indefinito, integrali immediati. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Sedicesimo |
| 27 | * | Integrale indefinito: metod di integrazione per decomposizione in somma, metodo di integrazione per parti, integrale di funzioni razionali fratte, metodo di integrazione per sostituzione. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Sedicesimo |
| 28 | * | Integrale definito: definizione dell’integrale secondo Riemann, condizioni integrabilità, interpretazione geometrica. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Sedicesimo |
| 29 | * | Integrale definito: proprietà dell’integrale definito, teorema della media, teorema di Torricelli-Barrow e sue applicazioni, integrali impropri. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Sedicesimo |
| 30 | * | Coniche: equazione di una conica, circonferenze, ellissi, iperboli e parabole. | Greco, Matarazzo e Milici: Capitolo Diciassettesimo |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame si compone di una prova scritta e una prova orale. La prova scritta mira a verificare le capacità dello studente di utilizzare ed applicare opportunamente i concetti di base, gli strumenti ed i risultati fondamentali proposti nel programma mediante lo svolgimento di un certo numero di esercizi. Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per accedere alla prova orale, ove si completa la valutazione dello studente mediante l’accertamento di un’adeguata conoscenza e padronanza di tutti gli argomenti che compongono il programma. Il voto sarà assegnato in base al livello di preparazione dimostrato dallo studente, fermo restando che il superamento dell’esame richiede il raggiungimento di una soglia minima di conoscenza sulle tematiche previste nel programma dell’insegnamento.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
1 Quali sono le principali operazioni sugli insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano, differenza, complemento) e le loro proprietà?
2 Cosa sono le disposizioni, combinazioni e permutazioni semplici e con ripetizione?
3 Mi enuncia la proprietà del coefficiente binomiale? (Proprietà di simmetria e formula di Stifel)
4 Cos’è il triangolo di tartaglia?
5 Cosa sono il binomio di Newton ed il polinomio di Leibniz?
6 Cos’è una relazione binaria?
7 Cos’è un’applicazione?
8 Cos’è un’operazione binaria interna? C’os’è un gruppoide? Cos’è un gruppo?
9 Quali sono le operazioni sulle matrici e le loro proprietà?
10 Cos’è la matrice inversa e di quali proprietà gode?
11 Cos’è il determinante di una matrice e di quali proprietà gode?
12 Mi enuncia i due teoremi di Laplace?
13 Mi enuncia il teorema il teorema di CauchyBinet e il teorema di Binet?
14 Cos’è la matrice aggiunta e di quali proprietà gode?
15 Cos’è il rango di una matrice e di quali proprietà gode?
16 Cos’è una forma lineare e quando un insieme di forme lineari si definisce linearmente indipendente?
17 Quando un sistema lineare si dice possibile, impossibile, determinato o indeterminato?
18 Cosa sono e quali sono i principi di equivalenaza dei sistemi lineari?
19 Mi enuncia il teorema di Cramer?
20 Mi enuncia il teorema di Rouché-Capelli?
21 Mi scrive l’equazione generale di una retta e mi enuncia, commentandole, le condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette?
22 Mi scrive l’equazione del fascio di rette passante per un punto e l’equazione della retta passante per due punti?
23 Cosa sono e di quali proprietà godono l’estremo inferiore, l’estremo superiore, il minimo e i massimo di un insieme numerico?
24 Quando due insiemi numerici si dicono separati e quando si diconono contigui?
25 Cosa sono i punti interni, i punti di frontiera e i punti di accumulazione di un insieme?
26 Cosa sono la chiusura e l’apertura di un insieme, un insieme aperto, un insieme chiuso, un insieme convesso?
27 Mi enuncia il teorema di Bolzano-Weierstrass?
28 Cosa sono il dominio, il codominio, l’estremo superiore, l’estremo inferiore, il massimo e il minimo e il grafico di una funzione reale di variabile reale?
29 Quando una funzione converge per x che tende a x0? 30 Mi enuncia i principali teoremi sui limiti (unicità del limite, primo e secondo teorema del confronto, teorema di Cauchy, etc.)?
31 Cos’è una funzione continua?
32 Mi enuncia i principali teoremi sulle funzioni continue (teorema di esistenza degli zeri, teorema di Weirstrass, etc.)?
33 Quando una funzione si dice monotona e quali sono le sue principali proprietà?
34 Cosa sono le funzioni pari, le funzioni dispari, le funzioni periodiche e quali sono le loro principali proprietà?
35 Cosa si intende per confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti?
36 Cos’é la derivata di una funzione?
37 Che relazione esiste tra derivabilità e continuità?
38 Qual è l’interpretazione geometrica della derivata?
39 Mi enuncia i teoremi relativi alla derivata di una somma algebrica di funzioni, del prodotto di funzioni, del rapporto di funzioni, di funzioni composte e di funzioni inverse?
40 Cos’è il differenziale e qual è la sua interpretazione geometrica?
41 Cos’è l’elasticità di una funzione?
42 Mi enuncia, mi dimostra e mi da l’interpretazione geometrica dei Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange?
43 Mi enuncia il teorema di de l'Hôpital?
44 Cosa sono la formula di Taylor e la formula di Mac Laurin?
45 Quando una funzione si dice crescente (o decrescente) in x0? 46 Mi enuncia e mi dimostra i principali teoremi sulle funzioni crescenti (o decrescenti) in un punto?
47 Cos’è un punto di massimo (o minimo) relativo?
48 Mi enuncia, mi dimostra e mi commenta il teorema di Fermat?
49 Mi enuncia i teoremi che danno condizioni sufficienti per l’esistenza di punti di massimo e minimo relativo?
50 Cos’è una funzione convessa e cos'è una funzione concava?
51 Mi enuncia i principali teoremi sulle funzioni convesse e sulle funzioni concave?
52 Mi dice cos’è un punto di flesso e mi enuncia i principali teoremi sui punti di flesso?
53 Mi dice cos’è un asintoto?
54 Cos’è una primitiva di una funzione?
55 Cos’é l’integrale indefinito e quali sono le sue principali proprietà?
56 Cos’é il metodo di integrazione per parti?
57 Cos’é l’integrale definito?
58 Quali sono le principali condizioni sufficienti per l’integrabilità di una funzione?
59 Mi enuncia i principali teoremi sull’integrale definito?
60 Mi enuncia e mi commenta il teorema della media?
61 Mi enuncia e mi dimostra il teorema di Torricelli-Barrow?
62 Cos’è un integrale improprio?
63 Cos’è una conica, quando si dice degnere, quando è una ellisse, un’iperbole o una parabola?
64 Mi scrive l’equazione della circonferenza?
65 Mi scrive l’equazione canonica dell’ellisse, dell’iperbole e della parabola?
Per quanto riguarda gli esercizi assegnati alla prova scritta si potrà trovare una raccolta di compiti assegnati negli ultimi anni sul sito http://studium.unict.it/dokeos/2015/ seguendo il seguente percorso: Economia e Impresa / Economia / Matematica Generale/ Documenti / Documenti Matematica Generale