MATEMATICA GENERALE M - Z

1. Conoscenza e capacità di comprensione: Allo studente saranno forniti gli strumenti matematici basilari necessari a un approccio "formale" tipico delle moderne scienze economiche e aziendali. L’approccio pedagogico sarà quello di enfatizzate le applicazioni economiche, finanziarie e aziendali degli strumenti matematici, anche per facilitarne la comprensione in un’ottica interattiva senza sacrificare un livello minimo di rigore espositivo. Il rigore della trattazione matematica consentirà allo studente di acquisire una forma mentis utile per lo studio di altre materie del suo corso universitario e, più in generale, di tutte le tematiche professionali che incontrerà.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Grazie alla familiarità con gli strumenti matematici di base, lo studente potrà analizzare rigorosamente un problema quantitativo al fine di trarre opportune conclusioni. Lo studente sarà in grado di elaborare un ragionamento matematico mediante definizioni e teoremi particolarmente significativi. La dimostrazione di alcuni di essi risulterà utile anche come esercizio applicativo insito nella formalizzazione matematica. Lo studente sarà anche in grado di applicare le conoscenze apprese alla formalizzazione di alcuni tipici problemi economico-aziendali quali la massimizzazione del profitto, la minimizzazione dei costi e la massimizzazione dell’utilità. Altri esempi e problemi simili aiuteranno gli studenti a migliorare la comprensione e la capacità di problem-solving. 
3. Autonomia di giudizio: Lo studente acquisirà la capacità di elaborare autonomamente l’approccio più adeguato alla soluzione dei problemi rifuggendo da sterili applicazioni di schemi ripetitivi. Lo studente sarà educato a giudicare la formalizzazione proposta da diversi punti di vista quali l’eleganza del modello, la potenza dello strumento matematico e la difficoltà computazionale. 
4. Abilità comunicative: Lo studente sarà in grado di trasferire a terzi, con padronanza del linguaggio tecnico, le conoscenze acquisite. Per ogni problema affrontato egli  applicherà metodi e tecniche che meglio lo rappresentano, giustificando le ipotesi adottate nel corrispondente modello matematico. Durante lo svolgimento delle lezioni questi aspetti verranno enfatizzati, sollecitando lo studente a esporre dubbi e critiche sulle tecniche matematiche apprese.
5. Capacità di apprendimento: considerato il crescente ricorso alla formalizzazione matematica nelle trattazioni di temi economici e aziendali, il corso metterà lo studente in grado di accedere alla letteratura più qualificata in questi settori, costituendo una imprescindibile base per il futuro apprendimento sia a livello didattico che a livello professionale.

Parte I: 

ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA: Proposizioni logiche. Connettivi logici. Quantificatori.

INSIEMI: Proprietà, sottoinsiemi, operazioni. Applicazioni. Relazioni binarie. Numeri reali e disequazioni. Cenni di trigonometria.

CALCOLO COMBINATORIO: Disposizioni, combinazioni e permutazioni, semplici e con ripetizione. Binomio di Newton. Coefficiente binomiale.

MATRICI E DETERMINANTI: Definizioni e classificazioni. Somma e prodotto di matrici. Matrice inversa e trasposta. Determinante di una matrice e sue proprietà. Rango di una matrice.

SISTEMI LINEARI: Forme linear. Sistemi lineari. Teorema di Cramer e metodo di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di sistemi parametrici.

Parte II:

GEOMETRIA ANALITICA: Coordinate cartesiane. Equazione della retta nel piano.

INSIEMI NUMERICI: Maggioranti e minoranti di un insieme. Estremo inferiore e superiore di un insieme. Insiemi separati e contigui. Cenni di topologia. Cenni sulle successioni numeriche e sulle serie numeriche.

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: Definizioni, classificazioni, rappresentazione geometrica. Funzioni composte e inverse. Limiti: definizioni e teoremi. Funzioni continue. Infinitesimi ed infiniti.

DERIVATE E DIFFERENZIALI: Definizioni, proprietà e loro significato geometrico. Derivate delle funzioni elementari. Derivate e differenziali di somma, prodotto e quoziente di funzioni. Derivate di funzioni composte e inverse. Derivate e differenziali successivi. Principali teoremi sulle funzioni derivabili.

APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE: Formule di Taylor e di Mac Laurin. Forme indeterminate. Funzioni monotone. Funzioni convesse. Estremi relativi e assoluti.  Punti di flesso. Asintoti. Studio di funzioni. Elasticità di una funzione.

INTEGRALI: Integrale indefinito e primitive. Integrale definito e suo significato geometrico. Principali metodi di integrazione.

FUNZIONI REALI DI PIU’ VARIABILI REALI: Insieme di definizione. Continuità. Derivabilità parziale. Gradiente. Massimi e minimi vincolati. Funzione Lagrangiana.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Ulteriori testi consultabili: S. Corrente, S. Greco, B. Matarazzo, S. Milici, "Matematica Generale", Giappichelli Editore, Torino, 2021.

L'esame della materia prevede il superamento di una prova scritta e di un successivo colloquio orale a cui è possibile accedere solo dopo aver superato la prova scritta.  

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

1. Quali sono le principali operazioni sugli insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano, differenza, complemento) e le loro proprietà?
2. Cos’è l’insieme delle parti e qual è la sua cardinalità (insieme finito)?
3. Enunciare il teorema dei 4 cardinali.
4. Cos’è un’applicazione?
5. Quando una funzione si dice biunivoca?
6. Cos’è la funzione inversa?
7. Cos’è una relazione e quando si dice binaria?
8. Cos'è una partizione di un insieme? 
9. Cos’è una relazione di equivalenza? Enunci e dimostri il teorema che lega una relazione di equivalenza a una partizione di un insieme.
10. Cos’è una relazione di ordinamento parziale e quando si dice totale?
11. Cosa sono le disposizioni, combinazioni e permutazioni semplici e con ripetizione?
12. Cos’è il coefficiente binomiale e quali sono le sue proprietà? (Proprietà di simmetria e formula di Stifel)
13. Cos’è il binomio di Newton?
14. Cos’è una matrice e quali sono le operazioni che si possono eseguire su di esse?
15. Cos’è una matrice estratta?
16. Cos’è la matrice inversa? Quali sono le sue proprietà?
17. Cos’è il determinante di una matrice quadrata e di quali proprietà gode?
18. Enunciare i due teoremi di Laplace.
19. Enunciare il teorema di Binet.
20. Cos’è un minore di una matrice? Cosa sono il suo minore complementare ed il suo complemento algebrico?
21. Cos’è la matrice aggiunta e di quali proprietà gode?
22. Cos’è il rango di una matrice e di quali proprietà gode?
23. Enunciare il teorema di Pascal (Teorema delle orlate).
24. Quando un sistema lineare si dice possibile, impossibile, determinato o indeterminato?
25. Cosa e quali sono i principi di equivalenza dei sistemi lineari?
26. Enunciare e dimostrare il teorema di Cramer. A cosa serve il metodo di Cramer per la soluzione di un sistema lineare omogeneo?
27. Enunciare il teorema di Rouchè-Capelli.
28. Scrivere l’equazione generale di una retta e dimostrare le condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette.
29. Cosa sono e di quali proprietà godono l’estremo inferiore e l’estremo superiore di un insieme numerico? Cosa sono il minimo e il massimo di un insieme numerico?
30. Quando due insiemi numerici si dicono separati e quando si dicono contigui?
31. Cosa sono i punti interni, i punti di frontiera e i punti di accumulazione di un insieme numerico?
32. Cosa sono la chiusura e l’apertura di un insieme numerico?
33. Quando un insieme numerico si dice aperto e quando si dice chiuso?
34. Cos’è una successione?
35. Cos’è il limite di una successione?
36. Quando una successione si dice monotona?
37. Quando una successione si dice convergente o divergente?
38. Cos’è una serie?
39. Quando una serie si dice convergente o divergente?
40. Cosa sono il dominio, il codominio, l’estremo superiore, l’estremo inferiore, il massimo e il minimo e il grafico di una funzione reale di variabile reale?
41. Cos’è il limite di una funzione e quando essa si dice convergente per x che tende a x₀?
42. Quando una funzione si dice divergente?
43. Enunciare i principali teoremi sui limiti (unicità del limite, primo e secondo teorema del confronto).
44. Cos’è una funzione continua? Cosa sono i punti di discontinuità e quante specie ne esistono?
45. Enunciare i principali teoremi sulle funzioni continue (esistenza dei valori intermedi, esistenza degli zeri, Weirstrass, etc.).
46. Quando una funzione si dice monotona?
47. Cosa sono le funzioni pari, dispari e periodiche?
48. Cosa si intende per confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti?
49. Cos’è la derivata di una funzione dal punto di vista analitico e qual è la sua interpretazione geometrica?
50. Cos’è un punto di non derivabilità e quanti punti di non-derivabilità esistono? (Punti angolosi, punti cuspidali, punti di flesso a tangente verticale)
51. Che relazione esiste tra derivabilità e continuità di una funzione?
52. Enunciare i teoremi relativi alla derivata di una somma algebrica di funzioni, del prodotto di funzioni, del rapporto di funzioni e di funzioni composte e inverse.
53. Cos’è il differenziale di una funzione e qual è la sua interpretazione geometrica?
54. Cos’è l’elasticità di una funzione?
55. Enunciare e dimostrare i teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange.
56. Qual è l’interpretazione geometrica dei teoremi di Rolle e Lagrange?
57. Enunciare il teorema di de l'Hôpital?
58. Cosa sono la formula di Taylor e la formula di Mac Laurin? A cosa servono?
59. Quando una funzione si dice crescente (decrescente) in x₀?
60. Enunciare e dimostrare i principali teoremi sulle funzioni crescenti (o decrescenti) in un punto.
61. Cos’è un punto di massimo (minimo) relativo?
62. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat? Qual è la sua interpretazione geometrica?
63. Enunciare i teoremi sulle condizioni sufficienti per l’esistenza di punti di massimo e minimo relativo.
64. Quando una funzione si dice convessa (rivolge la concavità verso l’alto) e quando si dice concava (rivolge la concavità verso il basso)?
65. Enunciare i principali teoremi sulle funzioni convesse e sulle funzioni concave.
66. Cos’è un punto di flesso? Enunciare i principali teoremi sui punti di flesso.
67. Cos’è un asintoto? Quanti tipi di asintoti ci sono? (Verticale, orizzontale, obliquo)
68. Cos’è la primitiva di una funzione?
69. Dimostra che tutte le primitive di una funzione differiscono per una costante arbitraria.
70. Cos’è l’integrale indefinito e quali sono le sue principali proprietà?
71. Cos’è il metodo di integrazione per parti?
72. Cos’è l’integrale definito e qual è la sua interpretazione geometrica? Quali sono le classi di funzioni integrabili?
73. Quali sono le proprietà dell’integrale definito?
74. Enunciare e dimostrare le due versioni del teorema della media? Qual è la loro interpretazione geometrica?
75. Enunciare e dimostrare il Teorema Fondamentale del Calcolo (Torricelli-Barrow).
76. Qual è il legame tra integrale indefinito e integrale definito?
77. Cos’è una funzione di più variabili?
78. Definire la continuità di una funzione di più variabili è continua?
79. Cos’è la derivata parziale di una funzione a più variabili?
80. Cos’è il gradiente di una funzione di più variabili?
81. Cos’è la funzione Lagrangiana e a cosa serve?